平城京と平城宮の違いって文字だとよく似ていますが意味は全く違います。「街」か「官庁街&皇居」の違いです。平城京は「街」、平城宮は「官庁街&皇居」の違いで平城京の中に平城宮があったと言えます。
「平城京」は現在の大和郡山市と奈良市に広がっていた奈良時代の日本の首都である「街」のことです。街の中には複数の大寺院や住居、市場が開設されていました。
「平城宮」は平城京の中枢施設です。政治や行事を行うほか天皇の住まいとしての機能がありました。現在の東京首都機能で言うと、永田町の官庁街と皇居のイメージです。場所は平城京の北端に設置されました。
「平城宮」は上記で解説した「平城宮」の跡地です。現在はほぼ全域が保存されていますが当時の建物は無く、遺跡として保存されています。(埋蔵文化財と言います。)現在見える建物は平成時代に復元されたものです。
「平城宮跡」のことを指して「平城宮址」と表記しているものが一部存在しています。読み方も「へいじょうきゅうし」など平城宮跡のことを指した別の表現も存在しています。2010年の平城遷都1300年祭を契機に平城宮跡は観光資源として大きく注目されますが、それ以後は「平城宮跡」の表記を多く見ます。
「宮跡庭園」は平城宮跡南東の商業施設「ミ・ナーラ」の向かい側にある庭園です。平城宮跡に近い事から平城宮に関連した施設という説もありましたが、「ミ・ナーラ」が長屋王の邸宅跡地であることも含み、長屋王邸宅に関連する施設である見方もあります。
「平安京」は現在の京都府京都市に開かれた都です。平城京が首都だった時代「奈良時代」の次の時代「平安時代」に主に都でした。(厳密には、平城京と平安京の間に長岡京と言う都が短期間ではありますが開設されています。)